数学思维训练汇编
《学而思培优·数学思维训练汇编:小学奥数5年级(视频讲解)》以各杯赛出题方向为依据，按照奥数学习的模块分计算、计数、应用题、行程问题、几何、数论、组合七个大专题，共三十六讲编写。
题目皆选自全国各大杯赛试题，题型全面，包含所有小学年级奥数知识点，且题目分类详尽;题目难易程度按星级由简至难排布，且有详尽的答案解析。
本书针对小学思维训练拓展。
为什么竞赛选手走向社会之后会有这么多的成功者?我想原因主要有以下三点:
一是数学解题对学生思维能力的训练是任何其他学科所不能比拟的。
虽然其他学科对于思维训练也有很大益处，但没有哪门学科对于学生的注意力、观察力、逻辑思维能力、记忆力、空间想象能力的训练像数学这样的全面和有针对性。
二是数学题目和数学问题本身的难度较大，对学生的毅力和独立思维的意志品质是一个很好的磨炼。
三是在学习数学的过程中尤其需要学生的自学能力。
数学竞赛的题目范围及难度往往略高于学校的教学大纲，对于解题思想的考查则不局限于学校的教学内容，学生为了取得新的突破，必须通过独自钻研，或者与同学及师长交流讨论。
如何提高数学思维【2】
(1)追根究底，培养思维的深刻性
思维的深刻性指善于透过纷繁复杂的表面现象发现问题本质。
在数学教学中，对于概念中的重点字、词，教师要进行强调，并讲清它们的含义;对于数学定理、公理中的条件和结论，要彻底讲清楚,要让学生深刻地理解所学的知识，对所学的知识追根究底，透过现象看本质，抓住问题的本质所在;对于数学中相关联的内容,要引导学生学会对比和类比，使他们通过比较，加深对所学知识的理解，同时也有助于对所学知识的记忆 。
(2)多角度、多层次考虑问题，培养学生思维的广阔性
思维的广阔性指善于全面地考察问题，从事物多种多样的联系和关系中去认识事物。
在数学教学中，要教育学生学会多角度、多层次、全面地思维，找到数学知识间的内在联系。
我们知道数学知识间的联系是无处不在的，如：一元二次方程、二次函数和一元二次不等式就联系密切;二次函数中，函数值为零就变成了一元二次方程;函数值大于或小于零时，就是一元二次不等式，找到知识间的联系后，就能很快地利用二次函数的图象，解一元二次不等式。
在数学教学中不仅要把握数学问题的整体，而且要抓住它的基本特征和特殊因素，找到问题的突破口，从而解决数学问题，这样有利于培养学生思维的广阔性。
(3)活学活用，培养思维的灵活性
思维的灵活性是指能够根据客观条件的发展和变化及时地改变方法，寻找新的解决问题的途径。
在数学教学中，教师要让学生在掌握所学知识的同时，还要注意教授学生一些数学的基本思维和方法，如：化归的思维方法、转化的思维方法、比较的方法、形与数互相结合和转化的思维方法，以及在解题时经常用到的分析法和综合法等等，帮助学生在解题时，寻找问题的突破口，抓住问题实质，提高分析问题、解决问题的能力。
对于数学中的公式，要让学生知道公式的正用、逆用、变用、活用、巧用及综合运用，能灵活地运用公式，解答数学题。
教师要鼓励学生用非常规的方法去解题，大胆尝试，这都有利于培养学生思维的灵活性，要克服思维的呆板，避免循规蹈矩，提高应变能力。
(4)多练精练，培养思维的敏捷性
思维的敏捷性是指思维过程的简缩性和快速性。
数学教学中，做题是必不可少的一个重要环节，只有做一定量的题，才能掌握数学知识。
教师在教学中，可以通过适当的练习，让学生掌握所学的知识，熟悉所学的公式，学会解题的方法和技巧,能迅速从题中抓住本质，找到解题的关键。
练习题要精选，既要达到巩固所学知识的目的，又要避免同一类型的题大量地重复做，只有这样才能做到在解题时，正确地、敏捷地解出答案。
(5)鼓励发散思维,培养思维的创造性
思维的创造性是指独立思考创造出有社会(或个人) 价值的具有新颖性成分的成果的智力品质。
创造性思维是创造力的核心。
心理学家吉尔福特认为智力结构中的每一种能力都与创新有关，但发散思维与创新的关系最为密切。
发散思维是一种开放性的思维。
在数学教学中,要启发学生多思考、多提问。
勤思善问是创新思维的开始，教师应当允许学生有不同的看法和新见解，对于学生的探索精神以及独到的、新颖的解题方法或解题思路，教师要给予肯定和鼓励。
在平时的例题讲解中，采用题型发散、解法发散、纵横发散、变更命题发散、转化发散、迁移发散等多种形式，对学生进行多思、多变、多解的解题辅导，使他们思考问题时，注重多途径、多方案，解决问题时注重举一反三，触类旁通，这对于培养学生思维的创造性至关重要。
要让学生在思想上摆脱传统的习惯，多从反习惯、反传统、反常规思路上考虑问题，要提倡做题时，能标新立异、独辟蹊径、推陈出新，这些都有助于提高学生思维的创新能力。
(6)学会检验，培养思维的批判性
思维的批判性是指思考问题时，不受别人暗示的影响，能严格而客观地评价、检验思维的结果的思维品质。
在数学教学中，教师不仅要教给学生能解出结果，而且要让他们知道来龙去脉，并教给他们要用各种方式进行检验，要检验自己的结论是否正确、是否符合题意，去伪存真，能够及时找到问题所在，并自行改正，养成检验的好习惯。
另外教师在数学教学中,还要针对学生容易出错的地方，讲一些错例辨析题，通过这类型题的比较，让学生发现问题所在，提高他们的辨误水平，避免再犯同样的错误。
告诉学生，凡事要自己去思考，不要盲从、不要迷信，有批判地接受，要敢于和善于发现问题，这对提高他们思维的批判性是有益处的。
对学生数学思维品质的培养，是数学教学的一项重要任务，它不是一朝一夕的事，数学教师要在传授知识的同时，注意对学生思维品质的培养，提高学生的思维能力，教师要大胆改革教学，提高学生的数学素质。
(7)突出情感教育，激发思维的积极性
①激发学习兴趣。
我国数学家王梓坤院士教导我们：“数学教师的职责之一就在于培养学生对数学的兴趣，这等于给了他们长久钻研数学的动力，优秀的数学教师之所以在学生中永志不忘，就是由于他点燃了学生心灵中热爱数学的熊熊火焰。
”因此，教师可以利用创设问题情境，利用教学认知矛盾，揭示新旧知识的联系，以数学知识本身的魅力与内在美，用直观的演示实验、精彩的导言来激发学生的学习兴趣。
②根据学生的个体差异，进行差异教学。
研究表明，学生的数学思维能力表现出明显的个体差异。
因此，教师对优等生要发挥其特长，指出其问题，更上一层楼;对中等生要激发其上进心，创造条件，促使其进步;对差生要热情关心，找出其症结，并采取个别指导的形式，帮助其克服困难，树立信心。
总之，教学要面向全体学生，调动每个学生的积极性，让每个学生都在原有的基础上得到充分发展。
(8)注重数学语言教学，提高思维精度
语言是思维的载体，思维需要用语言或文字表述。
著名科学家爱因斯坦认为：“一个人的发展和他形成概念的方法很大程度上是取决于语言。
”数学语言是进行数学思维和数学交流的工具。
数学语言水平的高低，在一定程度上影响着数学思维的发展。
所以，在数学教学中要充分认识数学语言对思维活动的影响，注重数学语言教学，培养学生用数学语言进行思维的习惯，发展学生的思维能力。
在教学中应注意：
①从规范书写与正确表达做起。
如果老师对数学概念、术语理解不深刻，语言表达不准确、不规范，甚至出现科学性错误，或者书写格式不合逻辑，出错题或做错解，对学生的影响是难以估量的。
因此，老师在课堂教学要做到语言规范，言必有序，言必有理，言必有据。
所有言语要合乎一般语法法则和逻辑要求，概念教学要准确到位，清晰明了，推理分析要条理清楚、层次分明。
②鼓励数学交流。
在课堂教学中，尽可能多地让学生说，如同位相商、小组讨论、集体讨论、自由议论、自己对自己说、质疑问难、全班评议等。
通过交流，可以使学生的思想清晰活跃，思路明确开阔，因果分明，逻辑清楚。
(9)创设情境问题，提供思维空间
①铺垫型情境。
教师可以以符合学生认知水平的、富有启发性的、常规问题或已知的数学事实为素材，创设铺垫型情境。
通过由浅入深、由此及彼、由正及反等不同的方式，不同层次的联想，变化发展出不同的新问题，从而为各种层次的学生提供广阔的思维空间，这对培养学生思维的开放性和合理推理能力有重要作用。
②认知冲突型情境。
教师可以以富有挑战性、探究性，且处于学生认知结构的最近发展区的非常规问题为素材，创设认知冲突性情境，引起学生的认知冲突，激起学生强烈的探究欲望和学习动机。
要让学生从解决面临的情境问题出发，不断地分解、转化问题，提出新的有关问题，并通过新问题的解决，最终使情境问题获得解决。
③思维策略型情境。
教师可以以思维策略多样、解题方法典型、解题过程能体现某种完整的数学思想方法的问题作为素材，创设思维策略性情境。
当学生的思维受阻后，教师可以从不同角度、不同的层次引导学生进行辩证分析，使学生获得不同程度的启发，从而使他们产生不同的解法。
同时，教师还可以引导学生对解法或策略进行适用性研究，拓展其使用范围。
这对克服思维定势等原因产生的消极影响，拓展思维的深度和广度，优化思维品质，培养思维的灵活性和创造性具有重要作用。
④试误型情境。
学生在理解、应用数学知识和方法的过程中，常因各种原因，犯一些似是而非的错误，教师如果能从中选择素材，就可创设试误型情境，借此为学生尝试错误提供时间与空间，并通过反思错误的原因，提出批驳型问题，加深学生对知识、方法的理解和掌握，提高他们对错误的认识与警戒，培养他们思维的批判性和严谨性。
这不仅能激发学生饱满的学习热情，促使他们以积极的态度、旺盛的精力主动探索，而且能使他们在情境中沉思、在情境中受感染、在情境中领悟。
(10)引导学生反思，挖掘思维潜力
数学研究本身就是一个不断反思的过程，反思推进了数学的进步。
在数学学习中，反思是一种积极的探究行为，是促进知识同化迁移的可靠途径;反思可以沟通新旧知识间的联系，深化对知识的理解;反思能促使学生从不同方面多角度观察事物，质疑问题，有利于创新思维和创造能力的培养。
良好的反思能力的形成必将使学生的思维能力得到大大地提升。
因此，在教学中，应紧密结合学生的认知活动，适时引导学生进行反思。
①听课反思。
在听课过程中，要指导学生学会反思这节课的主要内容与特点、学习的目标、教师思考问题的方法、自己对知识的理解程度，并可要求学生注意捕捉引起反思的问题或提出具有反思性的见解。
②解题反思。
这是在解题过程中，反思求解数学问题的思维模式，它通过对问题解答的结论的正确性进行检验或提出疑问、能否将问题进行变式或把当前问题推广到一般情况等问题的追问，使学生对自己思维方式进行有针对性的反思、调控，从而选择最佳解题策略。
③学习习惯反思。
指导学生经常反思自己对数学的兴趣、学习信心和能力、学习的态度与情绪、存在的薄弱环节等，学会及时调整自己，改正不良习惯，积极向上，通过引导学生反思使学生的思维能力得到有效的培养和开发。
(11)完善认识结构，优化思维品质
知识是思维的基础，没有一定的知识积累，思维过程就无法进行。
学生只有掌握了科学的符合逻辑结构的规律性的知识，才能通过运用这些知识作为分析、综合、判断、推理的基础，实现知识的迁移。
因此，要特别重视数学基本概念、基本原理的教学，不仅要讲清每一章节的知识结构，同时，还要注意各学科间知识的横向联系。
学生的知识结构越完整，思维的依据就越充分，思维过程就越容易进行。
①注重数学知识的整体性。
数学是一门结构化的学科，数学各个分支、各章节内容之间是互相渗透、相互蕴含的，数学知识是充满关系的有机整体。
在平时的教学中，既要注意知识面之间的纵向联系，把孤立的知识组成知识链，又要注意知识之间的横向联系，把知识链进一步组成知识网，使学生在头脑里形成一个经纬交织、融会贯通的知识网络，以利于塑造学生良好的认知结构，培养学习的迁移能力，进而从不同角度激活思维的灵活性、独创性。
②揭示知识形成的过程。
知识形成过程是构建知识结构的物质基础。
首先，要强调揭示知识发生的过程，因为概念的概括与判断及推理过程包含着极丰富的推理方法、思想方法和思维方法，它们是知识结构中的活跃元素。
要注意充分地揭示概念提出的背景，引导学生去探索概念的抽象、概括的过程，揭示概念形成的条件和发生过程。
其次，要强调知识的发展、深化过程，这是知识形成过程最关键的一环，是数学教学过程的主干。
要在学生头脑中织成知识的经纬和网络，垒砌知识的框架与结构。
再次，要着眼于知识应用的过程。
因为只有在知识的应用过程中，学生才能更深入地了解知识之间的内在联系，才能悟出带有观念性的数学思考，才能有效地从整体上认识数学。
实践表明，这样做不仅能够利于学生对概念的记忆、理解和掌握，而且能够锻炼学生善于透过纷繁复杂的表面现象去发现问题的实质，揭示事物的内在联系的能力，从而培养学生思维的深刻性。
③提炼数学思想方法。
数学思想方法形成于数学知识结构的建立和数学问题的解决过程中，它具有极高的概括性和包容性。
学生一旦掌握它，就能触类旁通，并形成创新能力。
因此，数学教学要注重数学思想方法的提炼。
(12)构建数学模式，发展思维能力
数学是研究“量化模式”的科学。
数学是充满模式的，法则是模式，一个确定的数学关系是一个模式，算法、规范式也是一个模式。
在教学中引导学生构建解题模式，不但可以向学生展示一些典型问题的解决过程，而且向学生提供了大量的“已知的、熟悉的、能解的问题”，为化归思想提供了若干重要的升降基地，成为解决新问题时的新的凭借与依托。
因此，建构模式、认识模式、欣赏模式、理解和记忆模式、强化和应用模式，无论对于巩固与应用学生已学的数学知识，还是对培养学生的数学技能都有着不可替代的作用。
加强数学模式的教学是信息化社会对数学教育提出的新的要求，它能帮助学生从众多信息中筛选有用的关键信息，提高分析问题的能力。
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