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导数的运算教学方案
1.2导数的运算
1.2.1常见函数的导数
目的要求：（1）了解求函数的导数的流程图，会求函数的导函数
（2）掌握基本初等函数的运算法则
内容
一．回顾 函数在某点处的导数、导函数
思考：求函数导函数的流程图
新授；求下列函数的导数
思考：你能根据上述（2）～（5）发现什么结论？
几个常用函数的导数：
基本初等函数的导数：
（7） 为常数） （8） 且
（7） 且 （8）
（9） （10） （11）
例1．若直线 为函数 图像的切线，求 及切点坐标。
例2．直线 能作为下列函数 图像的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由
（1） （2）
小结：（1）求函数导数的方法
（2）掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式
作业：
（1）在曲线 上一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 。
（2）当常数 为何值时，直线 才能与函数 相切？并求出切点
1.2.2函数的和、差、积、商的导数
目的要求：了解导数的四则运算法则，能利用导数的四则运算法则求函数的导数
重点难点：四则运算法则应用
内容：
一．填写下列函数的导数：
（1） （2）
（3） （ 为常数） （4） （ 且 ）
（5） （ 且 ）（6）
（7） （8） （9）（ =
二．新授：
例1．求 的导数
思考：（1）已知 ，怎样求 呢？
（2）若 ，则
导数的四则运算法则：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
特别，当 ( 为常数)时，有 ．
例2．求下列函数的导数
（1） （2）
例3．求下列函数的导数：
（1） （2）
板演：
1．用两种方法求函数 的导数
2．求下列函数的导数
（1） （2）
2．已知函数 的导数是 ，求函数 的导数。
小结：函数的四则运算法则
作业：
1．求下列函数的导数：
2．求曲线 在 处的切线方程。
3．已知点 ，点 是曲线 上的两点，求与直线 平行的曲线 的切线方程。
1.2.3简单复合函数的导数
目的要求：（1）掌握求复合函数 的导数的法则
（2）熟练求简单复合函数的导数。
重点难点：复合函数的求导法则是本节课的重点与难点
教学内容：
一．回顾导数的四则运算法则
二．新授：
例1．求下列两个函数的导数：
（1）已知 （2）
思考：如何求函数 的导数？
例2．求下列函数的导数：
（1） （2）
例3．求下列函数的导数：
（1） （2）
例4．求下列函数的导数：
小结：本节课主要介绍了简单复合函数的求导方法，正确理解
1.2导数的运算
习题课
目的要求：（1）回顾常见函数的导数、简单初等函数的导数，导函数的四则运算，简单复合函数的导函数
（2）函数导数几何意义的应用。已知点（在曲线上和曲线外）求切线、倾斜角；已知切线求切点。
教学内容：（回顾）
例1．求下列函数的导数：
例2．已知函数 ，求
例3．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2,?1)处与直线y=x?3相切，求实数a、b、c的值。
例4．求与曲线 在 的切线平行，并且在 轴上的截距为3的直线方程
例5．（1）已知曲线 上一点P(2, )求（1）过P点的切线的斜率 （2）过P点的切线（2）方程过点（－1，－52）的直线 是曲线 的一条切线，求直线 的方程
例6． 已知曲线 ，过点Q(0, 1)作C的切线，切点为P，（1）求证：不论a怎样变化，点P总在一条定直线上；（2）若a>0，过点P且与l垂直的直线与x轴交与点T，求OT的最小值（O为坐标原点）
小结：
1．常见函数的导数
2. 函数的和，差，积，商的导数
3. 简单复合函数的函数
作业：
2.2二项分布及其应用教案三（新人教A版选修2-3）
2．2．2事的相互独立性
目标：
知识与技能：理解两个事相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事 独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
重点：独立事 同时发生的概率
教学难点：有关独立事发生的概率计算
授类型：新授
时安排：2时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1 事的定义：随机事：在一定条下可能发生也可能不发生的事；
必然事：在一定条下必然发生的事；
不可能事：在 一定条下不可能发生的事
2．随机事的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事 发生的频率 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事 的概率，记作 ．
3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事发生的频率近似地作为它的概率；
4．概率的性质：必然事的概率为 ，不可能事的概率为 ，随机事的概率为 ，必然事和不可能事看作随机事的两个极端情形
5 基本事：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事 ）称为一个基本事
6．等可能性事：如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事的概率都是 ，这种 事叫等可能性事
7．等可能性事的概率：如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果都是等可能的，如果事 包含 个结果，那么事 的概率
8．等可能性事的概率公式及一般求解方法
9.事的和的意义:对于事A和事B是可以进行加法运算的
10 互斥事:不可能同时发生的两个事．
一般地：如果事 中的任何两个都是互斥的，那么就说事 彼此互斥
11．对立事:必然有一个发生的互斥事．
12．互斥事的概率的求法:如果事 彼此互斥，那么
探究:
(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？
事 ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事 ：乙掷一枚硬币，正面朝上
(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
事 ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事 ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球
问题(1)、(2)中事 、 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）
问题(1)、(2)中事 （或 ）是否发生对事 （或 ）发生的概率有无影响？（无影响）
思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事B为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事A的发生会影响事B 发生的概率吗?
显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事A的发生不会影响事B 发生的概率．于是
P（B A）=P(B）,
P（AB）=P( A ) P ( B A）=P（A）P(B).
二、讲解新：
1．相互独立事的定义：
设A, B为两个事，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事A与事B相互独立（mutually independent ) .
事 （或 ）是否发生对事 （或 ）发生的概率没有影响，这样的两个事叫做相互独立事
若 与 是相互独立事，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立
2．相互独立事同时发生的概率：
问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事，它的发生，就是事 ， 同时发生，记作 ．（简称积事）
从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果 于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有 种等可能的结果 同时 摸出白球的结果有 种 所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率 ．
另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率 ，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率 ．显然 ．
这就是说，两个相互独立事同时发生的概率，等于每个事发生的概率的积 一般地，如果事 相互独立，那么这 个事同时发生的概率，等于每个事发生的概率的积，
即 ．
3．对于事A与B及它们的和事与积事有下面的关系：
三、讲解范例：
例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事的概率：
(1)都抽到某一指定号码；
(2)恰有一次抽到某一指定号码；
(3)至少有一次抽到某一指定号码．
解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率
P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.
(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A ）U（ B）表示．由于事A 与 B互斥，根据概率加法公式和相互独立事的定义，所求的概率为
P (A ）十P（ B）=P（A）P（ ）+ P（ ）P（B )
= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.
( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A ）U（ B）表示．由于事 AB , A 和 B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（A ）+ P（ B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.
例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 次，甲射中的概率为 ，乙射中的概 率为 ，求：
（1） 人都射中目标的概率；
（2） 人中恰有 人射中目标的概率；
（3） 人至少有 人射中目标的概率；
（4） 人至多有 人射中目标的概率？
解：记“甲射击 次，击中目标”为事 ，“乙射击 次，击中目标”为事 ，则 与 ， 与 ， 与 ， 与 为相互独立事，
（1） 人都射中的概率为：
∴ 人都射中目标的概率是 ．
（2）“ 人各射击 次，恰有 人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事 发生），另一种是甲未击中、乙击中（事 发生） 根据题意，事 与 互斥，根据互斥事的概率加法公式和相互独立事的概率乘法公式，所求的概率为：
∴ 人中恰有 人射中目标的概率是 ．
（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为 ．
（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事，
2个都未击中目标的概率是 ，
∴“两人至少有1人击中目标”的概率为 ．
（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，
故所求概率为：
（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事是“2人都击中目标”，
故所求概率为
例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作 假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
解：分别记这段时间内开关 ， ， 能够闭合为事 ， ， ．
由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响 根据相互独立事的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是
答：在这段时间内线路正常工作的概率是 ．
变式题1：如图添加第四个开关 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
方法一：
方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除 开且 与 至少有1个开的情况
例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率
解:（1）设敌机被第k门高炮击中的事为 (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事为 ．
∵事 ， ， ， ， 相互独立，
∴敌机未被击中的概率为
∴敌机未被击中的概率为 ．
（2）至少需要布置 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：
敌机被击中的概率为1-
∴令 ，∴
两边取常用对数，得
∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机
点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法 采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便
四、堂练习：
1．在一段时间内，甲去某地的概率是 ，乙去此地的概率是 ，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )
2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是 ，从乙口袋内摸出1个白球的概率 是 ，从两个口袋内各摸出1个球，那么 等于（ ）
2个球都是白球的概率 2个球都不是白球的概率
2个球不都是白球的概率 2个球中恰好有1个是白球的概率
3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）
0.128 0.096 0.104 0.384
4．某道路的 、 、 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45 秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）
5．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；
（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．
6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，
（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．
（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．
7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0 .79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.
8．制造一种零，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1，其中恰有 1废品的概率是多少？
9 ．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？
答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1) (2)
6.(1) , (2) ,
7. P=
8. P=
9. 提示：
五、小结 ：两个事相互独立，是指它们其中一个事的发生与否对另一个事发生的概率没有影响 一般地，两个事不可能即互斥又相互独立，因为互斥事是不可能同时发生的，而相互独立事是以它们能够同时发生为前提的 相互独立事同时发生的概率等于每个事发生的概率的积,这一点与互斥事的概率和也是不同的
六、后作业：本58页练习1、2、3 第60页 习题 2. 2A组4. B组1
七、板书设计（略）
八、教学反思：
1. 理解两个事相互独立的概念。
2. 能进行一些与事独立有关的概率的计算。
3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用。
抛物线的简单几何性质
j.Co M
2.3.2抛物线的简单几何性质
（一）目标：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 .
（二）重点：抛物线的几何性质及其运用
（三）教学难点：抛物线几何性质的运用
（四）教学过程：
一、复习引入：（学生回顾并填表格）
1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线.
图形
方程
焦点
准线
2．抛物线的标准方程：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 ，即 .
不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为 、左端为 ；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为 ，左端为 . （2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号.
二、讲解新课：
类似研究双曲线的性质的过程，我们以 为例来研究一下抛物线的简单几何性质：
1．范围
因为p＞0，由方程 可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程 不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程 中，当y=0时，x=0，因此抛物线 的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
对于其它几种形式的方程，列表如下：（学生通过对照完成下表）
标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率
注意强调 的几何意义：是焦点到准线的距离.
思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别）
三、例题讲解：
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．
解：由题意，可设抛物线方程为 ，因为它过点 ，
所以 ，即
因此，所求的抛物线方程为 ．
将已知方程变形为 ，根据 计算抛物线在 的范围内几个点的坐标，得
x01234…
y022.83.54…
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分
点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．
例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.
解法1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=?1.
由题可知，直线AB的方程为y=x?1
代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2?6x+1=0
解上述方程得x1=3+2 ,x2=3?2
分别代入直线方程得y1=2+2 ,y2=2?2
即A、B的坐标分别为（3+2 ，2+2 ），（3?2 ，2?2 ）
∴AB=
解法2：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1?x2=1
∴AB= x1?x2
解法3：设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，
AF等于点A到准线x=?1的距离AA′
即AF=AA′=x1+1
同理BF=BB′=x2+1
∴AB=AF+BF=x1+x2+2=8
点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解法3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。
变式训练：过抛物线 的焦点 作直线，交抛物线于 , 两点，若 ，求 。
解： ， ， 。
点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长： 或 。
四、达标练习：
1．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，如果 ，那么 =（ ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知 为抛物线 上一动点， 为抛物线的焦点，定点 ，则 的最小值为（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．过抛物线 焦点 的直线 它交于 、 两点，则弦 的中点的轨迹方程是 ______
4.定长为 的线段 的端点 、 在抛物线 上移动，求 中点 到 轴距离的最小值，并求出此时 中点 的坐标.
参考答案：1. B 2. B 3. 4. , M到 轴距离的最小值为 .
五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.
六、课后作业：
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则∠A2FB2等于 .
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
4．以椭圆 的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
习题答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90° 3．x2＝±16 y4． 5． 米
七、板书设计（略）
高二数学参数方程的概念学案
第01时
1.1.1参数方程的概念
学习目标
1．通过分析抛射物体运动中时间与物体位置的关系，了解一般曲线的参数方程，体会参数的意义
学习过程
一、学前准备
复习：在直角坐标系中求曲线的方程的步骤是什么？
二、新导学
探究新知（预习教材P21～P22，找出疑惑之处）
问题1：由物理知识可知，物资投出机舱后，它的运动是下列两种运动的合成：
问题2：由方程组
，其中是 重力加速度（ ）
可知，在 的取值范围内，给定 的一个值，由方程组可以 确定 的值。
比如，当 时， ， 。
归纳：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数 （1），并且对于 的每个允许值，由方程组（1）所确定的点 都在这条曲线上，那么方程（1）叫做这条曲线的参数方程，联系变数 的变数 叫做参变数，简称参数。相对参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
说明：（1）一般说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
应用示例
例1．已知曲线C的参数方程是 (t为参数)
（1）判断点1(0,1),2(5,4)与曲线C的位置关系；
（2）已知点3(6,a)在曲线C上，求a的值。
（教材P22例1）
解：
反馈练习
1．下列哪个点在曲线 上（ ）
A．(2,7) B． C． D．(1,0)
2.设炮弹的发射角为 ，发射的初速度为 ，请用发射后的时间 表示炮弹发射后的位置 。
3.如果上题中 ，当炮弹发出2秒时，①求炮弹的高度；②求出炮弹的射程。
三、总结提升
本节小结
1．本节学习了哪些内容？
答：了解一般曲线的参数方程，体会参数的意义
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）
A．很好 B．较好 C． 一般 D．较差
后作业
1、对于曲线上任一点 ，下列哪个方程是以 为参数的参数方程（ ）
A、 B、
C、 D、
2、已知曲线C的参数方程是 ，且点 在曲线C上，则实数 的值为（ ） A、 B、 C、 D、无法确定
3、关于参数方程与普通方程，下列说法正确的是（ ）
①一般说，参数方程中参数的变化范围是有限制的；
②参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同表达形式；
③一个曲线的参数方程是唯一的；
④在参数方程 和普通方程 中，自由变量都是只有一个。
A、① ② B、②
C、②③ D、①②④
4、方程 表示的曲线为（ ）
A、一条直线 B、两条射线
C、一条线段 D、抛物线的一部分
5、一架救援飞机以100 m/s的速度作水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1000m时投放救灾物资（不计空气阻力，重力加速度 ），问此时飞机飞行的高度约是多少？（精确到1m）
任意角的正余弦函数
泗县三中教案、学案：任意角的正弦、余弦函数
年级高一
学科数学
课题
任意角的正弦、余弦函数
授课时间
撰写人
时间
学习重点
任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
学习难点
任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
学 习 目 标
1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；
2. 理解任意角的三角函数不同的定义方法；
3. 已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.
教 学 过 程
一 自 主 学 习
y
P（a，b） r O M问题1： 将点取在使线段 的长 的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为： ； ；
如图，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ，那么： （1） 叫做 的正弦(sine)，记做 ； （2） 叫做 的余弦(cossine)，记做 ； （3） 叫做 的正切(tangent)，记做 .
即： ， ，
试试：角 与单位圆的交点坐标为 ，则 ， ，
反思： ①当 时，α的终边在 轴上，终边上任意一点的横坐标 都等于 ，
所以 无意义. ② 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点 （除了原点）的坐标为 ，它与原点的距离为 ，则：
二 师 生 互动
例1求 的正弦、余弦和正切值.
变式：求 的正弦、余弦和正切值.
小结：作角终边→求角终边与单位圆的交点→利用三角函数定义来求.
例2 已知角 的终边经过点P(2，－3)(如图)，的正弦、余弦和正切值.
变式：已知角a的终边经过P(4,-3)，求2sina+cosa的值.
三 巩 固 练 习
1. （ ）. A. 1 B. C. D. 2. （ ）. A. B. C. D. 3. 如果角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴重合，终边在函数 的图象上，那么 的值为（ ）. A. 5 B. －5 C. D. 4. . 5. 已知点 在角α的终边上，则 = . 6. 已知角 的终边过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值.
7. 求下列各角的正弦、余弦和?
（1）0 ；（2）π ； （3） ； （4） .
四 课 后 反 思
五 课 后 巩 固 练 习
1. 已知角α的终边经过 （ ），求 的值
2. 已知角α的终边在直线y＝2x上，求α的正弦、余弦
3.已知 是第三象限角，试判断 的符号。
（新人教A版选修2-3）二项式定理教案
1.3二项式定理
学习目标：
1 掌握二项式定理和二项式系数的性质。
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
授类型：新授
时安排：1时
教 具：多媒体、实物投影仪
过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1） ，
（2） .
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4 二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当 依次取 …时，二项式系数表，表中每行两端都是 ，除 以 外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是 ， ， ，…， ． 可以看成以 为自变量的函数 ，定义域是 ，例当 时，其图象是 个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两 端“等距离”的两个二项式系数相等（∵ ）．
直线 是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值：当 是偶数时，中间一项 取得最大值；当 是奇数时，中间两项 ， 取得最大值．
（3）各二项式系数和：
令 ，则
二、讲解范例：
例1． 设 ，
当 时，求 的值
解：令 得：
点评：对于 ，令 即 可得各项系数的和 的值；令 即 ，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例2．求证： ．
证（法一）倒序相加：设 ①
又∵ ②
由①+②得： ，
∴ ，即 ．
（法二）：左边各组合数的通项为
例3．已知： 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 ．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系 数最大的项
解：令 ，则展开式中各项系数和为 ，
又展开式中二项式系数和为 ，
（1）∵ ，展开式共 项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
（2）设展开式中第 项系数最大，则 ，
即展开式中第 项 系数最大， ．
例4．已知 ，
求证：当 为偶数时， 能被 整除
分析：由二项式定理的逆用化简 ，再把 变形，化为含有因数 的多项式
∴ ，∵ 为偶数，∴设 （ ），
当 = 时， 显然能被 整除，
当 时，（ ）式能被 整除，
所以，当 为偶数时， 能被 整除
三、堂练习：
1． 展开式中 的系数为 ，各项系数之和为 ．
2．多项式 （ ）的展开式中， 的系数为
3．若二项式 （ ）的展开式中含有常数项，则 的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）
A.低于5％ B.在5％～6％之间
C.在6％～8％之间 D.在8％以上
5．在 的展开式中，奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则 等于（ ）
A.0 B. C. D.
6．求和： ．
7．求证：当 且 时， ．
8．求 的展开式中系数最大的项
答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：
3. B 4. C 5. D 6.
7. (略) 8.
四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉 及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条进行 逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
五、后作业 ：
1．已知 展开式中的各项系数的和等于 的展开式的常数项，而 展开式的系数的最大的项等于 ，求 的值
答案：
2．设
求：① ② ．
答案：① ； ②
3．求值： ．
答案：
4．设 ，试求 的展开式中：
（1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和
答案：（1） ；
（2）所有偶次项的系数和为 ；
所有奇次项的系数和为
六、板书设计（略）
七、后记：
算法的概念
1.1.1 算法的概念
【目标】
1.了解算法的含义，体会算法的思想。
2.能够用自然语言叙述算法。
3.掌握正确的算法应满足的要求。
【重点与难点】
重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
教学难点：把自然语言转化为算法语言。
【教学过程】
1.情境导入：
算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。
2.探索研究
算法(algorithm)一词于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。
3.例题分析
例1. 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。
解析：根据质数的定义判断
解：算法如下：
第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。
第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
点评：通过例1明确算法具有两个主要特点：有限性和确定性。
变式训练1：一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法。
解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河；
S2 人自己返回；
S3 人带一只羚羊过河；
S4 人带两只狼返回；
S5 人带两只羚羊过河；
S6 人自己返回；
S7 人带两只狼过河；
S8 人自己返回；
S9 人带一只狼过河．
例2 给出求解方程组 的一个算法．
解析：解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法（即先将方程组化为一个三角形方程组，在通过回代过程求出方程组的解）解线性方程组．
解：用消元法解这个方程组，步骤是：
第一步：方程①不动，将方程②中 的系数除以方程①中 的系数，得到乘数 ；
第二步：方程②减去 乘以方程①，消去方程②中的 项，得到
第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到 ， ．
所以原方程组的解为 ．
点评：通过例2再次明确算法特点：有限性和确定性
变式训练2：写出求过两点(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。
解：算法：第一步：取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；
第二步：计算 ；
第三步：在第二步结果中令x=0得到y的值m，得直线与y轴交点(0,m)；
第四步：在第二步结果中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交点(n,0)；
第五步：计算S= ；
第六步：输出运算结果
例3 用二分法设计一个求解方程x2?2=0的近似根的算法。
算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：
第一步：令f(x)=x2?2。因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2。
第二步：令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f(x1)f(m)大于0还是小于0。
第三步：若f(x1)f(m)>0，则令x1=m；否则，令x2=m。
第四步：判断x1?x2<0.005是否成立？若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条的近似根；若否，则返回第二
点评：渗透循环的思想，为后面教学做铺垫。
变式训练3 给出求1+2+3+4+5的一个算法．
解： 算法1 按照逐一相加的程序进行．
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15．
算法2 运用公式 直接计算．
第一步：取 =5；
第二步：计算 ；
第三步：输出运算结果．
算法3 用循环方法求和．
第一步：使 ，；
第二步：使 ；
第三步：使 ；
第四步：使 ；
第五步：如果 ，则返回第三步，否则输出 ．
点评：一个问题的算法可能不唯一．
4．回顾小结
1．算法的概念：对一类问题的机械的、统一的求解方法．算法是由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题．
2．算法的重要特征：
（1）有限性：一个算法在执行有限步后必须结束；
（2）确定性：算法的每一个步骤和次序必须是确定的；
（3）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条．所谓0个输入是指算法本身定出了初始条．
（4）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果．没有输出的
算法是毫无意义的．
5．后作业
写出求 的一个算法
解：第一步：使 ，；
第二步：使 ；
第三步：使 ；
第四步：使 ；
第五步：使 ；
第六步：如果 ，则返回第三步，否则输出 ．
1.1.1. 算法的概念
前预习学案
一、预习目标：了解算法的含义，体会算法的思想。
二、预习内容：
1.算法的概念及其特点
2.判断一个数为质数的算法设计
三、提出疑惑：如何快速准确的写出一个问题的算法？
内探究学案
一、学习目标：
1.了解算法的含义，体会算法的思想；
2.能够用自然语言叙述算法；
3.知道算法应满足的要求。
二、学习重点：算法的含义、判断一个数为质数的算法设计。
学习难点：把自然语言转化为算法语言。
三、学习过程：
（一）、自主学习：
1．算法的概念
2．算法的重要特征：
（二）、例题分析：
例1. 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定
变式训练1：一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法。
例2 给出求解方程组 的一个算法．
变式训练2：写出求过两点(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。
例3 用二分法设计一个求解方程x2?2=0的近似根的算法。
变式训练3 给出求1+2+3+4+5的一个算法
（三）、回顾小结：
（1）算法的概念
（2）算法的重要特征
（四）、当堂检测：
写出求 的一个算法
解：第一步：使 ，；
第二步：使 ；
第三步：使 ；
第四步：使 ；
第五步：使 ；
第六步：如果 ，则返回第三步，否则输出 ．
后练习与提高：
1. 下列关于算法的说法中，正确的是（ ）.
A． 算法就是某个问题的解题过程 B． 算法执行后可以不产生确定的结果
C． 解决某类问题的算法不是惟一的 D． 算法可以无限地操作下去不停止
2.有一堆形状大小相同的珠子，其中只有一粒质量比其他的轻，某同学利用科学的算法，两次利用天平找出这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有多少粒（ ）
A. 4 B.5 C.7 D.9
3下列各式中的S值不可以用算法求解的是（ ）
A.S=1+2+3+4
B.S=1+2+3+4+….
C.S=
D.S=1+2+3+4+…+100
4.已知一个学生的语成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99。求它的总分和平均分的一个算法为：
第一步：取A=89，B=99;
第二步：
第三步：
第四步：输出计算结果。
5.写出解方程2x+3=0的算法。
第一步：
第二步：
第三步：
6. 给出一个判断点P 是否在直线y=x-1上的一个算法。
参考答案：
1.C 2.D 3.B 4.计算总分S=A+B+C;计算平均分P=S/3
5.移项得2x=-3;系数化为1得x=-3/2
6.解：第一步：将点P 的坐标带入直线y=x-1的解析式
第二步：若等式成立，则输出点P 在直线y=x-1上
若等式不成立，则输出点P 不在直线y=x-1上
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